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Mathematische Statistik

Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelten Modelle für Zufallsexperimente finden in der mathematischen Statistik ihre hauptsächliche Anwendung. Für ein reales Experiment mit zufälligem Ausgang ist das adäquate beschreibende mathematische Modell nicht oder zumindest nicht vollständig bekannt. Die Aufgabe der mathematischen Statistik besteht in der Entwicklung von Verfahren zur Anpassung des Modells an die Wirklichkeit.


Das Forschungsinteresse in der mathematischen Statistik konzentriert sich auf mehrere Themenbereiche.

Multivariate statistische Verfahren

In der multivariaten Statistik geht es um die statistische Analyse mehrdimensionaler Daten. Drei wichtige Fragestellungen aus diesem Bereich sollen an Hand eines Beispiels angesprochen werden. Das nachfolgende Bild zeigt Messwerte der Kopflänge und der Kopfbreite (in cm) von erst- und zweitgeborenen Söhnen aus 25 Familien (siehe Frets, G.P. (1921), Heredity of head form in man, Genetica, 3, 193) in Form von zwei Punktwolken in der Ebene. Die durch × markierten Punkte sind den erstgeborenen Söhnen, die durch ◦ markierten Punkte den zweitgeborenen Söhnen zuzuordnen.

 

 

Eine naheliegende Frage ist, ob bei erst- und zweigeborenen Söhnen hinsichtlich der Kopfform, beschrieben durch die Kopflänge und die Kopfbreite, ein Zusammenhang besteht. Sind xi bzw. yi die ermittelten Werte für die Kopfform des erst- bzw. zweitgeborenen Sohns der i-ten Familie, so kommt aus der Sicht des Statistikers unter der Annahme, dass (x1, y1), . . . , (xn, yn) Beobachtungen von n = 25 unabhängigen und identisch verteilten vierdimensionalen

Zufallsvektoren (X1,Y1),...,(Xn,Yn) sind, die Beantwortung der Frage auf das Anbringen eines statistischen Tests zur Behandlung des statistisches Testproblems zur Entscheidung zwischen der Hypothese der Unabhängigkeit von Xi und Yi und der Alternative der Abhängigkeit von Xi und Yi hinaus. Von Interesse ist auch die Beantwortung der Frage, ob hinsichtlich der Kopfform Unterschiede bei erst- und zweitgeborenen Söhnen bestehen, übertragen auf die Terminologie der Statistik, ob die Verteilungen von Xi und Yi gleich sind. Vor dem Aufkommen leistungsfähiger Rechner wurden solche Fragestellungen der multivariaten Statistik zumeist behandelt unter der - oft fragwürdigen - Annahme, es bei den ermittelten Werten mit Beobachtungen mehrdimensional normalverteilter Zufallsvektoren zu tun zu haben. Die Frage nach der Berechtigung dieser Annahme führt auf das klassische Anpassungsproblem (hier: für mehrdimensionale Normalverteilungen) der mathematischen Statistik.

Die Behandlung von statistischen Testproblemen ist auch für den Bereich der Versicherungs- und Finanzmathematik von Bedeutung. Vorstellbar ist beispielsweise, dass die xi und yi beobachtete Risiken bei zwei verschiedenen Gruppen von Versicherungsnehmern sind. Hier kann ein Verfahren zur Beantwortung der Frage (Hypothese), ob im Sinne einer gewissen stochastischen Ordnung das Risiko bei der einen Gruppe nicht höher einzustufen ist als das Risiko bei der andere Gruppe, von Interesse sein.

Statistische Anpassungstests

Das bereits angesprochene Anpassungsproblem gehört zu den wichtigsten Fragestellungen der mathematischen Statistik. In Anwendungsbereichen, z.B. in der Versicherungsmathematik, werden für interessierende Größen wie Lebensdauern oder Schadenshöhen gern spezielle Verteilungsannahmen getroffen. Den Vorteil einfacher Handhabbarkeit vor Augen wird oft von einer zugrunde liegenden Exponentialverteilung ausgegangen. Da optimale statistische Tests zur Behandlung von Anpassungsproblemen nicht existieren, ist die Erarbeitung neuer Verfahren mit einhergehenden vergleichenden Effizienzuntersuchungen wichtig.

Verteilungen der Stochastik

Untersuchungen zur Struktur von Verteilungen oder Verteilungsfamilien sind für die Erarbeitung von statistischen Verfahren nützlich. Charakteristische Eigenschaften von Verteilungen können z.B. zur Aufstellung von Anpassungstests verwendet werden. Erkannte Zusammenhänge und Querverbindungen zwischen oft ganz unterschiedlichen Verteilungen ermöglichen tiefergehende Einblicke in stochastisch-mathematische Sachverhalte. Wahrscheinlichkeitstheoretische Begründungen oder Interpretationen bekannter klassischer Identitäten oder Darstellungen gewisser spezieller Funktionen, etwa von 2(π/2)s/2ξ(s) mit ξ(s)=s(s-1)π-s/2Γ(s/2)ζ(s)/2, ζ die Riemannsche ζ-Funktion, als Mellin-Transformierte der Grenzverteilung der Kuiper-Statistik, erwecken einen Eindruck vom faszinierenden Reiz dieses Teilgebiets der Mathematischen Statistik.

Ausgewählte Publikationen:

  • Rigid motion invariant two-sample tests
    (Baringhaus, L., Franz, C.)
    Statistica Sinica. 20, 1333-1361, 2010
  • Empirical Hankel transforms and its applications to goodness-of-fit tests
    (Baringhaus, L., Taherizadeh, F.)
    J. Multivariate. Anal. 101(6), 1445-1457, 2010
  • Nonparametric two-sample tests for increasing convex order
    (Baringhaus, L., Grübel, R.)
    Bernoulli 15(1), 99-123, 2009
  • A new weighted integral goodness-of-fit statistic for exponentiality
    (Baringhaus, L., Henze, N.)
    Statist. Probab. Lett. 78(8), 1006-1016, 2008
  • On unbiased estimation of positive integral powers of the natural parameter in exponential families
    (Baringhaus, L.)
    Scand. J. Statist.  30(3), 597-608, 2005
  • Fibonacci numbers, Lucas numbers and integrals of certain Gaussian processes
    (Baringhaus, L.)
    Proc. Amer. Math. Soc. 124(12), 3875-3884, 1996